REVISTA INCAING

Diseño, m
odelado cinemático
y construcción
de un
robot móvil
omnidireccional
, del
salón
de clase a su
implementación

ISSN24489131

Yolanda Eugenia Márquez Gardea, Rafael Sandoval Rodríguez, Manuel Alejandro García González,

Edgar Trujillo Preciado, Rafael Ruiz Márquez.

yolanda.mg, rafael.sr, manuel.gg, edgar.tp, rafael.rm@chihuahua.tecnm.mx

Departamento de Eléctrica, Electrónica y Mecatrónica

Tecnológico Nacional de México campus Chihuahua

Resumen
–
El
presente
trabajo
muestra
el
resultado
del
proceso
de
diseño,
modelado y
construcción
de
un
robot
móvil
omnidireccional.
Partiendo
de
los
conocimientos
teóricos
adquiridos en los cursos de Robótica y Modelado y Manufactura
Asistida
por
Computadora
en
la
carrera
de
Ingeniería
Electrónica,
el
estudiante
inicia
con
una
lista
de
requisitos
funcionales y dimensionales del dispositivo. Sigue a la parte de
modelado
usando
un
software
para
CAD/CAE
y
fabrica
las
piezas del robot usando impresión 3D. De acuerdo a los requisitos
de
movilidad
y
funcionalidad
del
robot,
diseña
una
tarjeta
de
control usando un sistema embebido, actuadores y sensores para
cumplir
dichos
requisitos.
Posteriormente
realiza
el
modelado
cinemático del robot, para finalizar con la integración de todos
los elementos y su prueba funcional.

Índice de Términos
–
Robótica móvil, diseño e impresión 3D,
modelado cinemático, sistemas embebidos.

Abstract-

The
present
report
shows
the
results
of
the
process
of
design,
modeling
and
construction
of
an
omnidirectional
mobile
robot.
Starting from the theoretical knowledge acquired in the courses of
Robotics and Computer Aided Manufacturing and Modeling in the
bachelors of Electronic Engineering, the student initiates with a list
of functional requirements of the prototype. After that, the student
obtains a model using CAD/CAE software and fabricates the pieces
of the robot using a 3D printer.
According with the mobility and
functional requirements, the student designs a control board using
embedded
systems,
actuators
and
sensors
to
fulfill
those
requirements.
Along
with
the
physical
modeling,
the
student
analyzes
and
obtains
the
kinematic
model
of
the
omnidirectional
robot.
Later
integrates
all
the
parts
and
performs
some
tests
to
validate the prototype.

Keywords
–
Mobile Robotics, design and 3D printing, kinematic
Modeling, Embedded Systems.

I.
INTRODUCCION

E
l
presente
trabajo
plasma
la
experiencia
de
los
estudiantes adquirida en el aula de clase, donde combinan los
conocimientos
teóricos
de
los
cursos
de
Robótica
y
de
Modelado
y
Manufactura
Asistida
por
Computadora
en
el
diseño,
modelado
y
construcción
de
un
robot
omnidireccional. La combinación del análisis de los tópicos
teóricos
con
la
aplicación
de
estos
en
el
diseño
y
construcción de prototipos ha resultado de gran beneficio en
el
afianzamiento de los temas propuestos en los programas
de
estudio
de
la
carrera
de
Ingeniería
Electrónica.
En
trabajos previos [1-4] se ha realizado esta práctica resultando
de gran beneficio para los estudiantes, dado que algún tópico
que no se entendió completamente en el salón de clase, este
es revisado nuevamente en el proceso de su aplicación en el
diseño del prototipo, reforzando su comprensión.

Aunque el modelo educativo que se sigue en la carrera de
Ingeniería
Electrónica
de
nuestro
instituto
no
es
el
de
Aprendizaje Basado en Proyectos, esta práctica se ha estado
aplicando de manera particular en los cursos mencionados,
obteniendo
resultados
muy
satisfactorios.
Tras
terminar
y
probar
el
prototipo
los
estudiantes
manifiestan
mucha
satisfacción
de
haber
entendido
y
puesto
en
práctica
los
conocimientos
teóricos
en
cada
una
de
las
etapas
de
desarrollo del proyecto, aumentando su autoestima y sentido
de
identidad
con
su
carrera.
Los
pasos
o
etapas
que
se
siguieron para el desarrollo del proyecto son muy similares a
las recomendadas por la Secretaría de Educación Pública, tal
y como se discute en [5]. En ese trabajo de investigación se
recomienda
que
el
docente
debe
motivar
al
estudiante
a
“transitar de la enseñanza al aprendizaje”
, y efectivamente la
interacción estudiante-maestro en las etapas del proyecto fue
motivante
para
nuestros
estudiantes.
En
las
siguientes
secciones
se
presenta
de
manera
detallada
el
proceso
de
diseño
y
construcción
del
prototipo.
En
la
sección
II
se
revisan los requisitos de funcionalidad del robot, tales como
movilidad, dimensiones, y de programación, finalizando con
el diseño e impresión en 3D del robot. En la sección III se
presenta el
diseño de la tarjeta de control, con el CPU, los
actuadores de sus ruedas y los manejadores de potencia. En
la sección IV se presenta el modelado cinemático del robot
móvil, desde las restricciones de las ruedas, las restricciones
impuestas
al
chasis,
y
finalmente
la
obtención
de
las
ecuaciones cinemáticas, directa e inversa. En la sección V se
discuten los resultados de pruebas del prototipo, y finalmente
en la sección VI se presentan las conclusiones del proyecto.

75
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

II.
R
EQUERIMIENTOS Y ESPECIFICACIONES DEL ROBOT

A.
Requerimientos de movilidad

Se
planteo
la
consigna
de
diseñar
y
fabricar
una
plataforma
móvil
que
cumpliera
con
los
siguientes
requisitos,

Como
parte de los tópicos que se cubren en el curso de
Robótica, se revisan diferentes configuraciones de chasis y
ruedas
en
robots
móviles,
tales
como
manejo
diferencial
(
differential
driving
),
sistema
Ackerman
,
y
omnidireccional
con ruedas suecas. Para este proyecto se seleccionó un robot
omnidireccional con tres ruedas suecas con ángulo de
90°
en
sus rodillos. La disposición de las ruedas en el chasis es de
120°
de
separación
entre
ellas.
Para
obtener
movilidad
omnidireccional,
cada
rueda
es
actuada
con
un
servomotor
con
control
independiente.
De
esta
manera,
una
vez
calculado el perfil de velocidad para cada rueda, acorde a la
trayectoria
que
se
desea
que
el
robot
realice,
el
CPU
se
encarga del control independiente de cada rueda enviando la
señal correspondiente a cada manejador de potencia.

B.
Requerimientos de tamaño

Dado
que
se
trata
de
un
robot
experimental
para
probar
algoritmos
de
navegación,
no
es
necesario
que
tenga
un
tamaño grande, y para tener buena movilidad y espacio
en
las
áreas
de
laboratorios
se
eligió
un
tamaño
pequeño.
Además,
tomando
en
cuenta
que
la
gran
mayoría
de
impresoras 3D cuentan con una cama de 250mm por 250mm
se
consideró
diseñar
un
chasis
que
se
adhiera
a
estas
restricciones para evitar posibles complicaciones mecánicas.
Las
dimensiones
finales
del
chasis
se
limitaron
a
un
cuadrado de 213mm por 213mm.

C.
Estructura propuesta

Se
propuso
una
configuración
de
chasis
modular
con
la
finalidad de agregar aditamentos posteriores en caso de que
así se requiera. El robot móvil, por lo tanto, cuenta con un
total
de
4
piezas
modulares
que
nos
permiten
montar
componentes.
El
diseño
del
chasis
donde
se
montan
los
motores
se
implementó
como
se
muestra
en
la
Figura
1.
Como
se
puede
apreciar
en
la
Figura
1,
se
colocaron
tres
postes guía para sujetar los siguientes soportes. La Figura 2
muestra el
soporte para la batería.
La Figura 3 muestra la
tablilla de control montada sobre su soporte y colocada sobre
el chasis. En la versión actual del robot no se cuenta con un
LIDAR,
sin
embargo,
se
considerará
la
opción
para
desarrollos
futuros.
La
Figura
4
muestra
el
sensor
LIDAR
sobre su soporte y montado sobre el chasis. En las etapas de
diseño
se
considero
la
posibilidad
de
utilizar
ruedas
omnidireccionales comerciales para simplificar el diseño, sin
embargo, la mala calidad de estas y la ausencia de bujes en
cada uno de los rodillos nos llevo a desarrollar nuestra propia
versión. La Figura 5 muestra un corte transversal del sistema
del rodillo y su buje, mientras que la Figura 6 muestra una
vista isométrica del conjunto.

Fig. 1. Chasis para el montaje de los motores.

Fig. 2. Soporte de la batería montado sobre el chasis.

Fig. 3. Tablilla de control montada sobre su soporte

y montada en el chasis.

76
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

Fig. 4. Sensor LIDAR con su soporte y montado

sobre el chasis.

Fig. 5. Vista de sección transversal de un rodillo y su buje.

Fig. 6. Vista isométrica de un rodillo.

Para la construcción de cada rueda sueca se utilizaron un
total
de
diez
rodillos,
dispuestos
de
cinco
en
un
soporte
y
cinco
en
un
segundo
soporte
con
un
desfasamiento
de
36
grados
para
que
en
todo
momento
haya
un
rodillo
en
contacto con el piso, tal como se aprecia en la Figura 7.

Fig. 7. Vista isométrica de una rueda ensamblada.

III.
D
ISEÑO DE LA TARJETA DE CONTROL

Se
decidió
utilizar
un
ESP32
como
microcontrolador
principal por la facilidad de uso en aplicaciones de IoT y su
robustez
de
aplicación
en
sistemas
de
control,
dado
que
cuenta con un procesador de doble núcleo a 32 bits. Además
que se tiene experiencia previa con este procesador ya que se
utiliza en otros curso de la carrera.

El diseño de la PCB se realizó en KiCAD, principalmente
porque es un software de uso libre y cuenta con la suficiente
capacidad para nuestra aplicación. En la tabilla se adicionan
los manejadores de potencia para los motores, una pantalla
OLED para como interfaz gráfica y demás circuitería para su
funcionamiento.
En
la
Figura
8
se
muestra
la
tablilla
de
control.

Fig. 8. Vista isométrica de la tablilla de control.

IV.
M
ODELADO CINEMÁTICO

Para el modelado del robot consideramos solo el modelo
cinemático,
dado
que
el
peso
y
dimensiones
del
robot
son
pequeñas,
además
de
que
las
ruedas
son
actuadas
con
servomotores
con
caja
de
trasmisión
de
engranes
con
una
relación
de
trasmisión
muy
grande
tal
que
atenúan
fuertemente las dinámicas del robot. Partimos del análisis de
las
restricciones
cinemáticas
de
las
ruedas,
posteriormente
integramos las ruedas al chasis del robot, y finalizamos con
la obtención de las ecuaciones para el modelado cinemático
directo e inverso.

A.
Restricciones de las ruedas sueca

Como se presenta en [6], las ruedas suecas o mecanum no
tienen
un
eje
vertical
de
rotación,
sin
embargo
se
pueden
mover omnidireccionalmente como una rueda cáster. Esto es
posible adicionando un grado de libertad a la rueda estándar
fija. Las ruedas suecas consisten de una rueda estándar fija
con rodillos colocados al perímetro de la rueda con ejes que
son anti-paralelos al
eje principal
de la rueda fija. El valor
del ángulo
𝛾
entre los ejes de los rodillos y el eje principal
son variables, pero los más comunes comercialmente son de
45°
y
de
90°.
La
Figura
9
muestra
las
componentes
de
movimiento sobre el plano de la rueda.

77
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

Fig. 9. Componentes de movimiento sobre el plano de una rueda sueca.

El
eje para análisis del movimiento sobre el plano de la
rueda se desplaza un ángulo
𝛾
para coincidir con el eje del
rodillo,
dado
que
sobre
este
eje
el
libre
movimiento
del
rodillo no tiene efecto, y el movimiento se debe al giro de la
rueda sobre su eje principal. De esta manera las componentes
de movimiento se relacionan con la siguiente ecuación,

𝑥̇
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
𝑦̇
𝑅
cos(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
𝑙𝜃
̇
cos(𝛽
+
𝛾)

=
𝑟𝜑̇
cos(𝛾) (
1)

En forma matricial,

[𝑠𝑒𝑛(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
cos(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
𝑙
cos(𝛽
+
𝛾)][
𝑥̇
𝑅
𝑦̇
𝑅
𝜃
̇
]

=
𝑟𝜑̇cos (𝛾)
(2)

Las componentes de movimiento ortogonal al plano de la
rueda se muestran en la Figura 10.

Fig. 10. Componentes de movimiento ortogonal al plano

de una rueda sueca.

En este caso el eje de análisis es ortogonal al eje de los
rodillos, y sobre este eje el movimiento del rodillo es libre,
eliminando cualquier deslizamiento. Al giro libre del rodillo
se
resta
una
componente
del
giro
de
la
rueda
sobre
su
eje
principal, así la ecuación de movimiento ortogonal al plano
de la rueda resulta,

𝑥̇
𝑅
𝑐𝑜𝑠(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
+
𝑦̇
𝑅
sen(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
+
𝑙𝜃
̇
sen(𝛽
+
𝛾)

= 𝑟
𝑟𝑠
𝜑̇
𝑟𝑠
−
𝑟𝜑̇
sen(𝛾)
(3)

En forma matricial,

[𝑐𝑜𝑠(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
+
sen(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
+
𝑙
sen(𝛽
+
𝛾)]
[
𝑥̇
𝑅
𝑦̇
𝑅
𝜃
̇
]

= 𝑟
𝑟𝑠
𝜑̇
𝑟𝑠
−
𝑟𝜑̇
sen(𝛾)
(4)

B.
Integración de las restricciones de las ruedas al chasis
del robot.

Dado un robot móvil con
𝑁
ruedas, podemos calcular las
restricciones cinemáticas del chasis del robot. La idea clave
es combinar las restricciones que cada rueda impone sobre el
robot, basada en la posición de la rueda sobre el chasis. Las
ruedas
cáster,
suecas
y
esféricas
no
imponen
restricción
sobre
el
movimiento
del
robot,
por
tanto
solo
incluimos
o
consideramos las ruedas fijas y direccionables. Supongamos
que
el
robot
tiene
𝑁
ruedas,
𝑁
𝑓
ruedas
fijas
y
𝑁
𝑠
ruedas
direccionables.
Usamos
𝛽
𝑠
(𝑡)
para
denotar
los
ángulos
variables
de
las
𝑁
𝑠
ruedas
direccionables
y
𝛽
𝑓
para
los
ángulos fijos de las
𝑁
𝑓
ruedas fijas. Los ángulos de rodada de
las
ruedas
los
denotamos
𝜑
𝑓
(𝑡)
y
𝜑
𝑠
(𝑡)
,
y
en
una
matriz
como
𝜑(𝑡)
.

𝜑(𝑡)
=
[
𝜑
𝑓
(𝑡)
𝜑
𝑠
(𝑡)
]
(5)

Las restricciones de rodada de todas las ruedas pueden ser
agrupadas en una sola expresión

𝐽
1
(𝛽
𝑠
)
[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
−
𝐽
2
𝜑̇(𝑡)
=
0
(6)

Donde
𝐽
2
es una matriz diagonal constante de
𝑁𝑥𝑁
cuyas
entradas son los radios
𝑟
de todas las ruedas.
𝐽
1
(𝛽
𝑠
)
denota
una matriz con proyecciones para todas las ruedas hacia sus
movimientos a lo largo de sus planos de rodada individuales.

𝐽
1
(𝛽
𝑠
)
=
[
𝐽
1𝑓
𝐽
1𝑠
(𝛽(𝑡))
]
(7)

Donde
𝐽
1𝑓
es
fijo
e
incluye
los
𝑁
𝑓
x
3
términos
de
las
restricciones de rodada para las ruedas fijas.
𝐽
1𝑠
(𝛽(𝑡))
es una
matriz de
𝑁
𝑠
x 3 e incluye las restricciones de rodada de las
ruedas
direccionables
y
es
función
de
𝛽(𝑡)
.
Usamos
la
misma
técnica
para
agrupar
las
restricciones
de

78
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

deslizamiento
lateral
a
todas
las
ruedas
en
una
sola
expresión.

𝐶
1
(𝛽
𝑠
)[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
=
0
(8)

con

𝐶
1
(𝛽
𝑠
)
=
[
𝐶
1𝑓
𝐶
1𝑠
(𝛽(𝑡))
]
(9)

Donde
𝐶
1𝑓
y
𝐶
1𝑠
son matrices de
𝑁
𝑓
x 3 y
𝑁
𝑠
x 3 cuyos
renglones son los tres términos de la matriz en la ecuación 2,
es
decir,
[𝑠𝑒𝑛(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
cos(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
𝑙
cos(𝛽
+
𝛾)].

C. Aplicación de las restricciones de las ruedas a un chasis
con 3 ruedas suecas.

Considerando
el
robot
omnidireccional
mostrado
en
la
Figura
11,
donde
se
usan
ruedas
suecas
(mecanum)
a
90
°
,
con los ejes de sus rodillos perpendiculares al eje principal
de la rueda.

Fig. 11. Robot Omnidireccional con tres ruedas suecas a
90
°

Consideramos
la
distancia
de
cada
rueda
al
origen
del
sistema coordenado del robot igual a
𝑙
, en nuestro robot
𝑙
=
10𝑐𝑚
y
el
radio
de
cada
rueda
igual
a
𝑟
=
3.05 𝑐𝑚
.
Los
parámetros
de
las
ruedas
son
𝛼
1
=
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
𝛼
2
=
𝜋 𝑟𝑎𝑑
,
y
𝛼
3
=
−
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
.
Se
asume
el
ángulo
de
orientación
𝛽
=
0
para
todas
las
ruedas
ya
que
todas
están
dispuestas
de
manera
tangente
al
chasis
del
robot
como
se
aprecia
en
la
Figura
3.
Así
mismo,
de
la
Figura
3,
podemos
ver
que
el
valor del ángulo de los rodillos para todas las ruedas es
𝛾
=
0
. De esta manera la expresión
𝐽
1
(𝛽
𝑠
)
en la Ecuación 7 se
reduce
a
𝐽
1𝑓
=
𝐽
1
y
sustituyendo
las
restricciones
de
cada
rueda,
[𝑠𝑒𝑛(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
cos(𝛼
+
𝛽
+
𝛾)
−
𝑙
cos(𝛽
+
𝛾)] ,
tenemos

𝐽
1
=
[
𝑠𝑒𝑛(𝛼
1
)
−cos (𝛼
1
)
−𝑙
𝑠𝑒𝑛(𝛼
2
)
−cos (𝛼
2
)
−𝑙
𝑠𝑒𝑛(𝛼
3
)
−cos (𝛼
3
)
−𝑙
]
(10)

sustituyendo los correspondientes valores de
𝛼

𝐽
1
=
[
𝑠𝑒𝑛
(
𝜋
3
)
−cos (
𝜋
3
)
−𝑙
𝑠𝑒𝑛(𝜋)
−cos (𝜋)
−𝑙
𝑠𝑒𝑛
(−
𝜋
3
)
−cos (−
𝜋
3
)
−𝑙
]
(11)

Simplificando,

𝐽
1
=
[
√3
2
−
1
2
−𝑙
0
1
−𝑙
−
√3
2
−
1
2
−𝑙
]
(12)

Para
este
robot
solo
consideramos
el
movimiento
en
el
plano de la rueda. Con las tres restricciones de movimiento
en
los
planos
de
las
ruedas
tenemos
que
𝐽
1
es
una
matriz
cuadrada,
y
así
podemos
establecer
la
relación
entre
las
velocidades
en
el
sistema
coordenado
del
robot
con
las
velocidades de las ruedas. Sustituyendo entonces la Ecuación
12 en la Ecuación 6 resulta,

[
√3
2
−
1
2
−𝑙
0
1
−𝑙
−
√3
2
−
1
2
−𝑙
]
[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
−
[
𝑟
0
0
0
𝑟
0
0
0
𝑟
]
[
𝜑̇
1
(𝑡)
𝜑̇
2
(𝑡)
𝜑̇
3
(𝑡)
]
=
0
(13)

Resolviendo para las velocidades de las ruedas tenemos,

[
𝜑̇
1
(𝑡)
𝜑̇
2
(𝑡)
𝜑̇
3
(𝑡)
]
=
[
1
𝑟
0
0
0
1
𝑟
0
0
0
1
𝑟
]
[
√3
2
−
1
2
−𝑙
0
1
−𝑙
−
√3
2
−
1
2
−𝑙
]
[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
(14)

Simplificando la Ecuación 14, tenemos

[
𝜑̇
1
(𝑡)
𝜑̇
2
(𝑡)
𝜑̇
3
(𝑡)
]
=
[
√3
2𝑟
−
1
2𝑟
−
𝑙
𝑟
0
1
𝑟
−
𝑙
𝑟
−
√3
2𝑟
−
1
2𝑟
−
𝑙
𝑟
]
[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
(15)

La
Ecuación
15
nos
muestra
la
relación
entre
las
velocidades
de
las
ruedas
del
robot
y
las
velocidades
a
lo
largo
de
los
ejes
del
sistema
coordenado
del
robot.
Sin
embargo nos interesa el movimiento del robot en un espacio
de trabajo, en la siguiente sección analizamos esta situación.

D. Movimiento del robot omnidireccional sobre

un sistema de referencia global.

79
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

Para
resolver
tareas
asignadas,
el
robot
móvil
debe
moverse
en
un
espacio
de
trabajo,
y
este
espacio
puede
definirse
mediante
un
sistema
coordenado
global
en
dos
dimensiones.
La
Figura
12
muestra
al
robot
móvil
en
un
espacio
de
trabajo
enmarcado
por
un
sistema
coordenado
𝑋
𝐺
−
𝑌
𝐺
,

Fig. 12. Robot Omnidireccional en el sistema de referencia global.

Las velocidades a lo largo de los ejes del sistema global
como
función
de
las
velocidades
en
los
ejes
del
robot
se
pueden
obtener
usando
la
matriz
de
rotación
fundamental
mostrada en la Ecuación 16,

[
𝑋
̇
𝐺
(𝑡)
𝑌
̇
𝐺
(𝑡)
𝜃
̇
𝐺
(𝑡)
]
=
[
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅
(𝑡)
−𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
(𝑡)
0
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
(𝑡)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅
(𝑡)
0
0
0
1
]
[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
(16)

La relación inversa se muestra en la Ecuación 17,

[
𝑥̇
𝑅
(𝑡)
𝑦̇
𝑅
(𝑡)
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
]
=
[
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅
(𝑡)
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
(𝑡)
0
−𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑅
(𝑡)
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅
(𝑡)
0
0
0
1
]
[
𝑋
̇
𝐺
(𝑡)
𝑌
̇
𝐺
(𝑡)
𝜃
̇
𝐺
(𝑡)
]
(17)

Como
podemos
ver
en
la
Ecuación
16,
la
velocidad
angular del robot en el sistema de referencia global,
𝜃
̇
𝐺
(𝑡)
,
es
igual
a
la
velocidad
angular
del
robot
respecto
de
su
propio
sistema
coordenado,
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
,
por
tanto
podemos
simplificar el término a
𝜃
̇
𝐺
(𝑡)
=
𝜃
̇
𝑅
(𝑡)
=
𝜃
̇(𝑡).
Mientras que
el
término
𝜃
𝑅
(𝑡)
,
representa
la
orientación
del
sistema
coordenado del robot respecto del sistema coordenado global
y es el ángulo entre el eje
𝑥
𝑅
del robot y el eje
𝑋
𝐺
del sistema
global medido en sentido antihorario. Para simplificar vamos
a denotar el término como
𝜃(𝑡)
.

Para encontrar la relación entre la velocidad de las ruedas
y
el
desplazamiento
del
robot
a
lo
largo
de
los
ejes
del
sistema coordenado global sustituimos la parte derecha de la
Ecuación
17
en
la
Ecuación
13,
y
resolviendo
para
las
velocidades
en
el
sistema
coordenado
global
obtenemos
la
Ecuación
18.
Cabe
notar
que
se
abreviaron
algunas
expresiones para hacer la ecuación mas legible. En este caso
𝐶𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑡)
,
𝑆𝜃
=
𝑠𝑒𝑛𝜃(𝑡)
, y
𝜑̇
𝑖
=
𝜑̇
𝑖
(𝑡)
.

[
𝑋
̇
𝐺
(𝑡)
𝑌
̇
𝐺
(𝑡)
𝜃
̇(𝑡)
]
=
[
𝑟𝐶𝜃
√3
(𝜑̇
1
−
𝜑̇
3
)
+
𝑟𝑆𝜃
3
(𝜑̇
1
−
2𝜑
̇
2
+
𝜑̇
3
)
𝑟𝑆𝜃
√3
(𝜑̇
1
−
𝜑̇
3
)
−
𝑟𝐶𝜃
3
(𝜑̇
1
−
2𝜑
̇
2
+
𝜑̇
3
)
−
𝑟
3𝑙
(𝜑̇
1
+
𝜑̇
2
+
𝜑̇
3
)
]
(18)

La
ecuación
18
nos
representa
el
modelo
cinemático
directo del robot omnidireccional donde las velocidades a lo
largo de los ejes del sistema coordenado global quedan como
función de las velocidades de las ruedas del robot. Por otra
parte,
si
en
la
sustitución
anterior,
resolvemos
para
las
velocidades de las ruedas tenemos,

[
𝜑̇
1
(𝑡)
𝜑̇
2
(𝑡)
𝜑̇
3
(𝑡)
]
=
(19)

=
[
√3
2𝑟
(𝐶𝜃𝑋
̇
𝐺
+
𝑆𝜃𝑌
̇
𝐺
)
−
1
2𝑟
(−𝑆𝜃𝑋
̇
𝐺
+
𝐶𝜃𝑌
̇
𝐺
)
−
𝑙𝜃
̇
𝑟
1
𝑟
(−𝑆𝜃𝑋
̇
𝐺
+
𝐶𝜃𝑌
̇
𝐺
)
−
𝑙𝜃
̇
𝑟
−
√3
2𝑟
(𝐶𝜃𝑋
̇
𝐺
+
𝑆𝜃𝑌
̇
𝐺
)
−
1
2𝑟
(−𝑆𝜃𝑋
̇
𝐺
+
𝐶𝜃𝑌
̇
𝐺
)
−
𝑙𝜃
̇
𝑟
]

La Ecuación 19 representa la cinemática inversa, en este
caso las velocidades de las ruedas quedan como función de
las
velocidades
deseadas
a
lo
largo
de
los
ejes
del
sistema
coordenado global.

V.
P
RUEBAS Y RESULTADOS

Para probar el modelo cinemático del robot se realizaron
diferentes simulaciones de trayectorias utilizado Python. Por
limitaciones de espacio se muestra aquí solo una simulación
de la generación de la trayectoria que se muestra en la Figura
13.

Fig. 13. Trayectoria de prueba para la validación del modelo cinemático.

El
punto
de
partida
del
robot
se
denota
con
𝑤
𝑖
y
tiene
coordenadas (30,10). La primer sección consiste de una línea
recta que va del punto
𝑤
𝑖
al punto de coordenadas (60,10).
La segunda sección es un semicírculo de radio
𝑟
2
=
20
, con

80
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

coordenadas de centro (60,30), ángulo inicial
𝛽
2
=
−90°
, y
ángulo
de
recorrido
∅
2
=
180°
.
La
tercer
sección
es
una
línea
recta
que
va
del
punto
(60,50)
al
punto
(30,50).
Finalmente, la última sección es un semicírculo de radio
𝑟
4
=
20
, con coordenadas de centro (30,30), ángulo inicial
𝛽
4
=
90°
, y ángulo de recorrido
∅
4
=
180°
. El perfil de velocidad
que debe describir el robot para completar la trayectoria
es
de
tipo
trapezoidal,
como
se
muestra
en
la
Figura
14.
El
robot
parte
de
velocidad
cero
y
gradualmente
alcanza
una
velocidad
𝑣
𝑐
que mantiene constante durante un periodo de
tiempo antes de empezar a desacelerar hasta velocidad cero
al final de la trayectoria.

Fig. 14. Perfil de velocidad trapezoidal para el robot omnidireccional.

Para
esta
simulación
se
eligió
un
tiempo
de
aceleración
𝑡
𝑎
=
3 𝑠𝑒𝑔
, un tiempo de desaceleración
𝑡
𝑑
=
3 𝑠𝑒𝑔
, y una
velocidad
constante
𝑣
𝑐
=
5 𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔
.
Utilizando
estos
parámetros del robot, la descripción previa de la trayectoria,
y aplicando esta información en las Ecuaciones 19 a la 49,
presentadas
en
[4]
obtenemos
las
velocidades
del
robot
móvil
con
referencia
a
los
ejes
del
sistema
coordenado
global, y son mostradas en la Figura 15,

Fig. 15. Velocidades del robot sobre los ejes del sistema global.

En
la
descripción
de
la
trayectoria
consideramos
que
la
orientación
del
robot
es
tal
que
su
eje
𝑋
𝑅
es
siempre
perpendicular
o
tangencial
a
la
trayectoria.
La
gráfica
del
ángulo
de
orientación
del
robot
con
respecto
al
tiempo
se
muestra en la Figura16,

Fig. 16. Ángulo de orientación del robot sobre los ejes del sistema global.

Derivando con respecto al tiempo el ángulo de orientación
del robot obtenemos la velocidad angular del robot y esta se
muestra en la Figura 17.

Fig. 17. Velocidad del ángulo de orientación del robot

sobre los ejes del sistema global.

Aplicando estas velocidades en la Ecuación 19 obtenemos
las
velocidades
de
las
ruedas,
y
estas
son
mostradas
en
la
Figura 18.

Fig. 18. Velocidades angulares de las ruedas del robot

sobre los ejes del sistema global.

Interpretando
la
gráfica
de
velocidades
de
las
ruedas
podemos observar que durante los segmentos de línea recta,
la velocidad en la rueda 2 es cero debido a que su orientación
es
perpendicular
a
la
dirección
de
avance,
y
sus
rodillos
transversales giran libremente para no ofrecer resistencia al
movimiento
del
robot,
solo
las
ruedas
1
y
3
aportan
movimiento. Durante los primeros tres segundos, que es el

81
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82

periodo de aceleración, las velocidades de las ruedas 1 y 3
parten
de
cero
hasta
alcanzar
una
velocidad
constante,
la
rueda 1 en sentido positivo y la rueda 3 e sentido negativo.
Algo similar ocurre durante los últimos tres segundos que es
el
periodo
de
desaceleración.
Durante
las
curvas
las
tres
ruedas aportan movimiento. La rueda 3, que en este caso es
la rueda exterior a la trayectoria, aporta la mayor velocidad
para provocar la rotación o movimiento angular del robot. En
estos
casos
la
rueda
2
también
aporta
movimiento
para
apoyar a la rueda 3 en el movimiento angular del robot.

Para validar los modelos cinemáticos, directo e inverso, si
aplicamos
las
velocidades
de
las
ruedas
mostradas
en
la
Figura
18
en
la
Ecuación
18,
debemos
obtener
las
velocidades originales o iniciales del robot sobre los ejes del
sistema
global,
tal
como
se
muestra
en
la
Figura
15.
Realizando
esta
operación
efectivamente
obtenemos
las
velocidades originales, como se muestra en la Figura 19.

Fig. 19. Velocidades originales del robot, y velocidades calculadas

del robot sobre los ejes del sistema global.

De
la
Figura
19
podemos
observar
el
traslape
entre
las
velocidades
originales
del
robot
especificadas
para
la
trayectoria
y
las
velocidades
calculadas
usando
ambos
modelos
cinemáticos.
Esto
nos
permitió
validar
nuestros
modelos en las Ecuaciones 18 y 19.

A manera de conclusión, la experiencia adquirida por los
estudiantes al realizar este proyecto fue muy enriquecedora,
puesto
que transitaron todo el proceso desde la concepción
de
la
idea
del
prototipo,
sus
aspectos
funcionales,
la
propuesta de diseños, su impresión 3D, ensamble, prueba y
validación
de
los
modelos
matemáticos.
Las
discusiones
generadas,
el
análisis
y
defensa
de
sus
propuestas
les
fortaleció su habilidades blandas en cuanto a comunicación,
trabajo
en
equipo
y liderazgo.
Además,
como
resultado
de
este ejercicio queda un prototipo funcional que sirve como
infraestructura para la validación de algoritmos de control.

R
ECONOCIMIENTO

Si bien solo se lista como coautor al estudiante líder del
equipo
de
trabajo,
se
hace
el
reconocimiento
a
los
demás
estudiantes participantes.

R
EFERENCIAS

  1. [1]
    Márquez Gardea, Y. E., Sandoval Rodríguez, R., & Loya Gutiérrez, D.
    (2024). Diseño de brazo robótico de 6 articulaciones impreso en
    3D.
    Investigación Y Ciencia Aplicada a La Ingeniería
    ,
    7
    (41), 51
    –
    58.
    Recuperado a partir de
    https://ojsincaing.com.mx/index.php/ediciones/article/view/289
    .
  2. [2]
    Sandoval Rodríguez, R., & Márquez Gardea, Y. E. (2024). Interfaz
    Gráfica de Usuario en LabView® para la Generación de Trayectorias
    en Robótica.
    Investigación Y Ciencia Aplicada a La Ingeniería
    ,
    7
    (41),
    01
    –
    12.
    Recuperado a partir de
    https://ojsincaing.com.mx/index.php/ediciones/article/view/273
    .
  3. [3]
    Márquez Gardea, Y. E., & Sandoval Rodríguez, R. (2023). Diseño de
    Transmisión Armónica para brazo robótico impreso en
    3D.
    Investigación Y Ciencia Aplicada a La Ingeniería
    ,
    6
    (40), 06
    –
    13.
    Recuperado a partir de
    https://ojsincaing.com.mx/index.php/ediciones/article/view/272
    .
  4. [4]
    Sandoval Rodríguez, R., & Márquez Gardea, Y. E. (2023). Diseño y
    Simulación de Funciones para la Generación de Trayectorias en 2D
    para su Aplicación con Robots Manipuladores.
    Investigación Y
    Ciencia Aplicada a La Ingeniería
    ,
    6
    (38), 36
    –
    47.
    Recuperado a partir de
    https://ojsincaing.com.mx/index.php/ediciones/article/view/261
    .
  5. [5]
    Jiménez Cisneros, M. del C., Romero Valencia, M. E. ., Sánchez
    Espinoza, P., Cisneros, M. del S. ., & González Vázquez, L. G. (2024).
    Etapas para considerar en una planeación de Aprendizaje Basado en
    Proyectos.
    Investigación Y Ciencia Aplicada a La Ingeniería
    ,
    7
    (45).
    Recuperado a partir de
    https://ojsincaing.com.mx/index.php/ediciones/article/view/357
    .
  6. [6]
    Siegwart R., Nourbakhsh I.R., and Scaramuzza D., Introduction to
    Autonomus Mobile Robots, The MIT Press, 2011. ISBN 978-0-262-
    01535-6.

Yolanda
Eugenia
Márquez
Gardea
es
docente
de
tiempo
completo
del
Departamento
de
Ingeniería
Eléctrica
y
Electrónica
del
Tecnológico
Nacional
de
México
campus
Chihuahua.
Es
egresada
de
la
carrera
de
Ingeniería Industrial en Electrónica por este mismo instituto. Cuenta con la
Maestría
en
Ingeniería
de
Manufactura
por
la
Universidad
de
Nuevo
México,
E.U.A.
Su
línea
de
trabajo
es
Diseño,
Ingeniería
y
Manufactura
Asistida por Computadora (CAD/CAE/CAM).

Rafael
Sandoval
Rodríguez
es
docente
de
tiempo
completo
del
Departamento
de
Ingeniería
Eléctrica
y
Electrónica
del
Tecnológico
Nacional
de
México
campus
Chihuahua.
Es
egresado
de
la
carrera
de
Ingeniería
Industrial
en
Electrónica
y
de
la
Maestría
en
Ciencias
en
Ingeniería
Electrónica
del
mismo
instituto.
Cuenta
con
un
Doctorado
en
Filosofía (Ph.D.) por la Universidad de Nuevo México, E.U.A. Su línea de
trabajo es robótica, control automático, e instrumentación.

Manuel
Alejandro
García
González
es
estudiante
de
la
carrera
de
Ingeniería
Electrónica
en
el
Tecnológico
Nacional
de
México
campus
Chihuahua, sus intereses académicos incluyen la robótica, teoría del control,
programación de sistemas embebidos y diseño mecánico. Ha participado en
competencias nacionales de robótica (InnoBótica TecNM), donde desarrolló
robots seguidores de línea.

Edgar Trujillo Preciado
es docente de tiempo completo del Departamento
de Ingeniería Eléctrica y Electrónica del Tecnológico Nacional de México
campus
Chihuahua.
Es
egresado
de
la
carrera
de
Ingeniería
Industrial
en
Electrónica
y
de
la
Maestría
en
Ciencias
en
Ingeniería
Electrónica
del
mismo
instituto.
Sus
áreas
de
trabajo
son
redes
de
computo,
sistemas
embebidos, ciberseguridad, e internet de las cosas.

Rafael Ruiz Márquez
es docente de tiempo completo del Departamento de
Ingeniería
Eléctrica
y
Electrónica
del
Tecnológico
Nacional
de
México
campus
Chihuahua.
Recibió
el
grado
de
Ingeniero
Electrónico
con
especialidad en Sistemas Digitales en el año 2006 por el mismo instituto.
Actualmente
en
proceso
de
titulación
de
la
Maestría
en
Ciencias
en
Ingeniería
Electrónica.
Es
miembro
del
Institute
of
Electrical
and
Electronics Engineers (IEEE). Áreas de interés: Sistemas digitales, control
automático y robótica.

82
REVISTA INCAING ISSN 24489131 (septiembre-octubre2026) pp 75-82